ЕГЭ онлайн > Математика > Вариант 5 > Результаты

`sqrt(x^2-7x+10)+9log_4x/8>=2x+sqrt(14x-20-2x^2)-13`

Найдём область определения неравенства:

`{:[x^2-7x+10>=0],[14x-20-2x^2>=0],[x>0]} rArr x={2;5}`  
Квадратные  трёхчлены, стоящие  под  знаками  радикалов  имеют общие корни, но сами трёхчлены имеют противоположные знаки, поэтому областью определения  неравенства  являются  только  две  точки,  в  которых  радикалы
обращаются  в нуль. Таким образом, исходное неравенство преобразуется к виду:

`9log_4x/8>=2x-13`

Преобразуем левую часть, используя свойства логарифмов:

`9log_4x/8=9(log_4x-log_(4)8)=9(log_4x-3/2)`

Неравенство примет вид:

`9log_4x-(27)/2>=2x-13`  

`9log_4x>=2x+1/2` .
Прямая подстановка значения `x=2` приводит к верному неравенству:

`9log_(4)2>=2*2+1/2 rArr 4,5>=4,5` .
Подстановка значения x=5 приводит к следующему выражению:
`9log_(4)5>=2*5+1/2 rArr 9/2log_(2)5>=21/2 rArr log_(2)5>=7/3`     (С1.1)
Для выяснения вопроса, является ли значение `x=5` решением исходного неравенства, необходимо сравнить два числа:

`log_(2)5vv 7/3 rArr 3*log_(2)5vv 7 rArr log_(2)125<log_(2)128`  .
Следовательно, выражение (С1.1) неверно.
Ответ: x=2.

На  рис.С2.1  следы  секущих  плоскостей  на гранях  призмы  показаны  пунктирными  линиями; прямая `l` пересекает грани `A A'C'C` и `C C'B'B` в точках `K` и  `L`   соответственно.  Следы  секущих  плоскостей  на грани  `C C'B'B`   являются  диагоналями,  т.е. `L` – точка  пересечения  диагоналей  (геометрический центр грани). На грани `A A'C'C` опустим высоту `KH_1` на ребро `AC` и найдём её.

Из  подобия  треугольников  `DeltaAKM`    и  `DeltaC'KC`  следует:

`(MK)/(CK)=(AM)/(C'C)=1/2 rArr MK=1/2CK, MC=3/2KC`

Из подобия треугольников `DeltaAMC`   и `DeltaH_1KC`  следует:

`(AM)/(KH_1)=(MC)/(KC)=(CA)/(CH_1)=3/2 rArr KH_1=2/3AM=2/3; CH_1=2/3CA=2/3`  
На грани `BB'C'C` опустим высоту `LH_2=1` на  ребро  `BC` .  Точка  `H_2`   не  показана  на рис.С2.1.  Рассмотрим  основание  `ABC` (рис.С2.2).  Из  точки  `H_1`   опустим  на  сторону `BC` перпендикуляр `H_1H_3` .

Т.к.  `CH_1=2/3CA`, то `H_1H_3` равен двум третям высоты правильного треугольника, т.е.

`H_1H_3=2/3*sqrt(3)/2=1/sqrt(3)` .
Из тех же соображений `CH_3=2/3CH_2, H_2H_3=1/6` .
По теореме Пифагора: `H_1H_2=sqrt((H_1H_3)^2+(H_2H_3)^2)=sqrt(1/3+1/(36))=sqrt(13)/6` .
Искомый угол можно найти из прямоугольной трапеции `H_2LKH_1` :

`tgalpha=(LH_2-KH_1)/(H_1H_2)=(1-2/3)/(sqrt(13)/6)=2/sqrt(13)`

Ответ: `tgalpha=2/sqrt(13)`

`(log_5(x^2-4x-11)^2-log_11(x^2-4x-11)^3)/(2-5x-3x^2)>=0`

Обозначим квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма за `p>0` и преобразуем числитель:
`p=x^2-4x-11`  

`log_5p^5-log_11p^3=2log_5p-3(log_5p)/(log_(5)11)=log_5p*(2-3/(log_(5)11))`     (С3.1)
Выражение,  стоящее  в  круглых  скобках,  есть  конечное  число,  на которое  можно  сократить  всё  неравенство. Необходимо  лишь  установить знак этого числа. Для этого сравним числа:

`2 vv 3/(log_(5)11);`   `log_(5)11>0`

`2*log_(5)11 vv 3`

`log_(5)121 vv log_(5)125`

`121 vv 125` .
Следовательно,  выражение,  стоящее  в  круглых  скобках  (С3.1)  есть отрицательное  число,  и,  при  сокращении  на  него  всего  неравенства,  знак неравенства должен измениться на противоположный. С учетом разложения знаменателя на множители, исходное неравенство принимает вид:
`(log_(5)(x^2-4x-11))/((x+2)(1-3x))<=0` .
По  нашему  мнению,  использование  метода  интервалов  при  решении подобных  неравенств  и  эффективнее  и  нагляднее.  Уже  разложенный  на множители знаменатель даёт на чистовой оси две выколотые точки: –2 и 1/3.

Решим уравнения:

`x^2-4x-11=0 rArr x_(3,4)=2+-sqrt(15)`  

`x^2-4x-11=1 rArr x_5=-2; x_6=6`
Второе уравнение возникает при условии равенства числителя нулю.

Последовательно расположим на числовой оси найденные точки:  
`-2;2-sqrt(15);1/3;2+sqrt(15);6` .
Все  точки,  кроме  последней,  являются  выколотыми.  Интервал `[2-sqrt(15);2+sqrt(15)]`   не  входит  в  область  решений,  т.к.  на  нём  выражение стоящее  под  знаком  логарифма  отрицательно.  На  интервале  `(-oo; -2)` числитель  положителен,  а  знаменатель  отрицателен  –  интервал  входит  в область  решений.  На  интервале  `(-2; 2-sqrt(15))`    числитель  отрицателен, знаменатель положителен – также входит в область решений. На интервале `(2+sqrt(15);6)`   числитель  и  знаменатель  строго  отрицательны,  и  данный интервал  не  входит  в  область  решений.  На  луче  `[6; +oo)` числитель  больше
либо равен нулю, знаменатель строго отрицателен.
Ответ: `(-oo;-2) uu (-2;2-sqrt(15)) uu [6;+oo)`

 Используем векторный подход. На рисунке показаны не все векторы, но правило следования букв в обозначении вектора  указывает  на  его  направление. В  качестве  базиса  выберем  векторы `vec(AB)=veca`, `vec(AD)=vecb` . 

Из  условия  `DN=2CN` следует, что  `vec(DN)=2/3veca+vecb` , тогда:
`vec(AN)=vec(AD)+vec(DN)=2/3veca+vecb` .
С другой стороны
`vec(AN)=vec(AB)+vec(BN) rArr vec(BN)=vec(AN)-vec(AB)=2/3veca+vecb-veca=-1/3veca+vecb` .
Из условия `KN=3BK` следует что:
KBNBab
`vec(BK)=1/4vec(BN)=-1/(12)veca+1/4vecb` .
Далее:
`vec(AK)=vec(AB)+vec(BK)=veca-1/(12)veca+1/4vecb=(11)/(12)veca+1/4vecb` .
Вектор  `vec(AK)`    коллинеарен  вектору  `vec(AM)=vec(AB)+vec(BM)=veca+xvecb` , следовательно  их  координаты  в  выбранном  базисе  должны  быть пропорциональны:
`((11)/(12))/1=(1/4)/x rArr x=1/4*(12)/(11)=3/(11)`  
т.е.  `vec(BM)=3/(11)vecb rArr BM=3/(11)AD` .  Но  отрезки  `AD`   и  `BC`   равны  как  стороны параллелограмма, т.е.

`BM=3/(11)BC rArr MC=BC-BM=BC-3/(11)BC=8/(11)BC`

Откуда окончательно получаем `BM:MC=3:8` .
Ответ: 3:8.

`sqrt(3a+sqrt(3a+2x-x^2))=2x-x^2`

Сделаем замену  `2x-x^2=t>=0` (С5.1) и возведём исходное уравнение в квадрат:
`sqrt(3a+sqrt(3a+t))=t` 

`3a+sqrt(3a+t)=t^2`

`sqrt(3a+t)=t^2-3a`
Область  существования  данного  уравнения  накладывает  ещё  одно ограничение  `t^2-3a>=0` (С5.2). Возведем в квадрат ещё раз, раскроем скобки и приведем подобные:
`t^4-6at^2+9a^2-3a-t=0` .
Решим данное уравнение как квадратное относительно `a` :
`9a^2-a(6t^2+3)+t^4-t=0` .  (С5.3)
Дискриминант:
`D=(6t^2+3)^2-36t^4+36t=36t^4+36t^2+9-36t^4+36t=36t^2+36t+9=(6t+3)^2`  
Корни:
`a_(1,2)=(6t^2+3+-(6t+3))/(18)={(a_1=(6t^2+6t+6)/(18)=(t^2+t+1)/3),(a_2=(6t^2-6t)/18=(t^2-t)/3):}` .
Разложим (С5.3) на множители с помощью найденных корней:
`9a^2-a(6t^2+3)+t^4-t=9*(a-(t^2+t+1)/3)*(a-(t^2-t)/3)=(3a-t^2-t-1)(3a-t^2+t)=0`  
Рассмотрим  первый  множитель  полученного  произведения.  В  силу ограничений  (С5.1)  и  (С5.2)  он  строго  отрицателен,  и  на  него  можно сократить  без  потери  решений.  Тогда  исходное  уравнение  примет  простой
вид:
`3a-t^2+t=0` .  (С5.4)
Данное  уравнение  должно  не  только  иметь  корни  (иметь неотрицательный  дискриминант)  но  и  для  выполнения  условия  (С5.1)  эти корни должны быть неотрицательны. Введём обозначение, запишем (С5.4) в более  привычном  виде  и  рассмотрим  его  как  квадратное,  теперь  уже относительно `t` :

`y(t)=t^2-t-3a=0`  

`D=1+12a>=0 rArr a>=-1/12`
Ветви параболы y(t) направлены вверх и корни существуют, а абсцисса вершины  `t_0=1//2`   не  зависит  от  параметра.  Для  того  чтобы  корни  были неотрицательны, достаточно потребовать, чтобы `y(0)>=0` , т.е. `-3a>=0` , `a<=0` .
Ответ:  `a in [-1/12;0]` .

` <br> `

`3(u-3)^2+6v^2+2t^2+3v^2t^2=33`    (С6.1)
Прежде  всего,  следует  отметить,  что  условие  (С6.1)  является  четным относительно переменных `v` и `t` . Это означает, что если некоторые числа `v_0` и `t_0`   удовлетворяют  данному  условию,  то  условию  также  удовлетворяют  и числа  `–v_0`   и  `–t_0` .  Разложим  на  множители  ту  часть  условия  (С6.1),  которая касается этих переменных:

`6v^2+2t^2+3v^2t^2=3v^2(2+t^2)+2t^2+-4=3v^2(2+t^2)+2(2+t^2)-4=(3v^2+2)(t^2+2)-4` .

С учетом этого разложения исходное условие (С6.1) примет вид:

`3(u-3)^2+(3v^2+2)(t^2+2)=37`                    (С6.2)
Для удобства дальнейшего анализа введём новые переменные:

`u_1=u-3`

`v_1=3v^2+2`

`t_1=t^2+2`

На `u_1` накладывается только ограничение целостности, а две последних вновь введённых переменных должны быть натуральными – как полученные из квадратов целых чисел, и каждая из них должна быть не менее 2, т.е.:
`u_1 in Z`

`v_1>=2.v_1 in N`

` ` `t_1>=2, t^2 in N` ,                             (С6.3)
Условие (С6.2) предстанет в более удобном виде:
`3u_(1)^2=v_1t_1=37` ,                                      (С6.4)
а из двух нижних неравенств (С6.3) следует, что `v_1t_1>=4` . При этом из (С6.4) следует, что:
`0<=3u_(1)^2<=33 rArr 0<=u_(1)^2<=11` .                       (С6.5)
Целых  чисел,  удовлетворяющих  условиям  (С6.3)  и  (С6.5),  конечный  и весьма ограниченный набор, что позволяет рассмотреть отдельно каждое из значений `u_(1)^2` .
Если  `u_(1)^2=0` ,  то  выражение  (С6.4)  упрощается  до  `v_1t_1=37` .  Обратим внимание  на  то,  что  37  –  простое  число,  т.е.  какой-либо  из  множителей должен равняться единице, что противоречит условию (С6.3), т.е.  `u_(1)^2=0` не является решением.
Если  `u_(1)^2=1` , то в силу (С6.4)  `v_1t_1=34` . Число 34 является произведением двух простых сомножителей и тогда возможны следующие варианты:
`v_1=17 rArr v=+-sqrt(5) !in Z`  

`t_1=2 rArr t=0`
или
 `v_1=2 rArr v=0`

`t_1=17 rArr t=+-sqrt(15) !in Z `
Как видно, и этот вариант не является решением.
Если  `u_(1_^2=4` ,  то  в  силу  (С6.4)  `v_1t_1=25` .  Натуральных  сомножителей, удовлетворяющих условию (С6.3) только два, и оба они равны 5:
 `v_1=5 rArr v=+-1`

`t_1=5 rArr t=+-sqrt(3) !inZ`
Не является решением.
Если  `u_(1)^2=9` ,  то  в  силу  (С6.4)  `v1t1=10` ,  причём  вариант  `t_1=5`   уже рассмотрен  и  отвергнут.  Остается  последний  вариант,  который  и  является решением:
`u_(1)^2=9 rArr u_1=+-3 rArr u=P{0;6}`

`v_1=5 rArr v=+-1`

`t_1=2 rArr t=0`
Ответ: (0; 1; 0), (0; –1; 0), (6; 1; 0), (6; –1; 0).